気体分子の平均運動エネルギー

1辺が $l$[m] の立方体の容器の中で分子が全て等しい速さ $v$[m/s] で運動しているものとする.このとき，全ての分子の $\frac{1}{3}$ づつが $x , y , z$ 方向に運動し，分子同士が衝突せず，かつ，立方体の容器の壁には完全弾性衝突するものとする.

立方体の容器の壁に速さ $v$[m/s] で衝突した分子は $-v$[m/s] で跳ね返る.そのため，1回の衝突によって立方体の容器の壁から受ける力積は \[-2mv[\rm{kg} \cdot \rm{m/s}]\] となる.

一方で，立方体の容器の壁の1つに分子は \[\frac{vt}{2l}\]回衝突する.

以上より，全ての分子 $N$個の $\frac{1}{3}$ づつが $x , y , z$ 方向に運動するので，$\frac{N}{3}$ の分子が立方体の容器の壁の1つに $t$ 秒間に及ぼす力積は，\[2mv \cdot \frac{vt}{2l} \cdot \frac{N}{3}=\frac{Nmv^{2}}{3l}[\rm{N} \cdot \rm{s}]\]となる.

力積を時間で割ると平均の力となる.\[\frac{Nmv^{2}}{3l}[\rm{N}]\]平均の力を立方体の容器の壁の1つの面積で割ると気体の圧力となる.\[p=\frac{\left(\frac{Nmv^{2}}{3l}\right)}{l^{2}}=\frac{Nmv^{2}}{3V}[\rm{N}/\rm{m}^{2}]\]

この式を変形すると，\[mv^{2}=\frac{3pV}{N}\]であることを用いると，気体分子の平均運動エネルギーは，\[\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}\frac{3pV}{N}\]となり，状態方程式\[pV=nRT\]を合わせると，\[\begin{eqnarray}\frac{1}{2}mv^{2}&=&\frac{1}{2}\frac{3}{N}nRT\\&=&\frac{3}{2}\frac{n}{N}RT\end{eqnarray}\]となり，アボガドロ数を $N_{0}$ とおくと，\[\frac{3}{2}\frac{n}{N}RT=\frac{3}{2}\frac{1}{N_{0}}RT\]さらに,ボルツマン定数\[k=\frac{R}{N_{0}}\]を用いると結局，\[\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{3}{2}kT\quad[\rm{J}]\]となる□

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