カイ二乗分布

カイ二乗分布は，ヘルメルト[Helmert, F. R.（1875）: Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler, Zeitschrift fxJ糅 Mathematik und Physik, 20, 300-303]により発見され，ピアソン[Pearson, K. （1900）: On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling, Philosophical Magazine 5, 50, 157-175]により命名された確率分布です．

ここで，$\Gamma$はガンマ関数です．

カイ二乗分布の導出

\[{ Z }_{ Z },{ Z }_{ Z },\cdots ,{ Z }_{ n }\sim N(0,1)\]とすると，その確率密度は，\[f({ z }_{ i })=\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { { z }_{ i } }{ 2 } }\quad (i=1,2,\cdots ,n)\]となります．ここで，\[{ Y }_{ i }={ Z }_{ i }^{ 2 }\quad (i=1,2,\cdots ,n)\]という確率変数を定義します．

そうすると，\[X={ Y }_{ 1 }+{ Y }_{ 2 }+\cdots +{ Y }_{ n }\]で定義される確率変数 $X$ が，\[{ c }_{ n }(x)=\frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } { x }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\quad ,(x>0)\]という $\chi^{2}$ 分布の確率密度に従うということを示していくこととします．

まず，$c_{1}(x)$ を求めます．\[f({ z }_{ 1 })=\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { { z }_{ 1 }^{ 2 } }{ 2 } },(-\infty \le { z }_{ 1 }\le \infty )\]であること，$n=1$ より，$x=y_{1}=z_{1}^{2}(\geq 0)$ であることより，\[{ z }_{ 1 }=\sqrt { x } \]となります．

従って，\[{ dz }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dx=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } dx\]つまり，\[2\sqrt { x } d{ z }_{ 1 }=dx\]となるので，$f(z_{1})$ が偶関数であること，$-\infty \leq z_{1} \leq \infty$ であることに注意すると，\[\int _{ 0 }^{ \infty }{ { c }_{ 1 } } (x)dx=2\int _{ 0 }^{ \infty }{ f({ z }_{ 1 })d{ z }_{ 1 } } =2\int _{ 0 }^{ \infty }{ f(\sqrt { x } )\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } } dx\]この式を少し変形すると，\[\int _{ 0 }^{ \infty }{ { c }_{ 1 } } (x)dx=2\int _{ 0 }^{ \infty }{ f(\sqrt { x } )\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } } dx=\int _{ 0 }^{ \infty }{ f(\sqrt { x } )\frac { 1 }{ \sqrt { x } } } dx\]よって，\[\begin{eqnarray} { c }_{ 1 }(x) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { x } } f(\sqrt { x } ) \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { x } } \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray}\]となります．

次に，$c_{2}(x)$ を求めます．

まず，\[x={ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }={ z }_{ 1 }^{ 2 }+{ z }_{ 2 }^{ 2 }\quad ,\quad ({ y }_{ 1 }\ge 0,{ y }_{ 2 }\ge 0)\]とおくと，\[{ y }_{ 2 }=x-{ y }_{ 1 }\ge 0\]となることより，\[0\le { y }_{ 1 }\le x\]であるので，$y_{1},y_{2}$ の確率密度を $h(y_{1},y_{2})$ とおくと，$y_{1},y_{2}$ が独立であることから，\[\begin{eqnarray} { c }_{ 2 }(x) & = & \int _{ 0 }^{ x }{ h({ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 })d{ y }_{ 1 } } \\ & = & \int _{ 0 }^{ x }{ { c }_{ 1 }({ y }_{ 1 })\cdot { c }_{ 1 }(x-{ y }_{ 1 })d{ y }_{ 1 } } \\ & = & \int _{ 0 }^{ x }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } } { y }_{ 1 }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { (x-{ y }_{ 1 })^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { { x-y }_{ 1 } }{ 2 } }d{ y }_{ 1 } } \\ & = & \int _{ 0 }^{ x }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { y }_{ 1 }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { (x-{ y }_{ 1 }) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } }d{ y }_{ 1 } } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } \sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ x }{ { y }_{ 1 }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot { (x-{ y }_{ 1 }) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } } d{ y }_{ 1 } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ x }{ { y }_{ 1 }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ (x-{ y }_{ 1 }) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }d{ y }_{ 1 } } \end{eqnarray}\]ここで，\[y_{1}=x \cdot u\]とおくと，\[dy_{1}=xdu\]なので，$y_{1}:0 \to x$ のとき，$u:0 \to 1$ となることから，\[\begin{eqnarray} { c }_{ 2 }(x) & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { (xu) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ (x-xu) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot xdx } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ u }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }xdu } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ -1 }x{ u }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }xdu } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { u }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }xdu } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { u }^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 }{ (1-u) }^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 }du } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }B(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } ) \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\frac { \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { 1 }{ 2 } ) }{ \Gamma (1) } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\frac { \sqrt { \pi } \sqrt { \pi } }{ 1 } \\ & = & \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray}\]となります．

ここまでで，\begin{cases} \begin{eqnarray} { c }_{ 1 }(x) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ { c }_{ 2 }(x) & = & \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 0 }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray} \end{cases}となります．

続いて，$c_{3}(x)$ を求めます．\[x={ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 }={ z }_{ 1 }^{ 2 }+{ z }_{ 2 }^{ 2 }+{ z }_{ 3 }^{ 2 }\quad ,\quad ({ y }_{ 1 }\ge 0,{ y }_{ 2 }\ge 0,{ y }_{ 3 }\ge 0)\]とし，\[y=y_{1}+y_{2}\]とおくと，\[y\sim { c }_{ 2 }(y)\quad ,\quad { y }_{ 3 }\sim { c }_{ 1 }({ y }_{ 3 })\]となり，\[y\ge 0\quad ,\quad { y }_{ 3 }\ge 0\]であることより，\[{ y }_{ 3 }\quad =(x-y)\ge 0\]であるから，\[0\le y\le x\]となります．ここで，$y,y_{3}$ の確率密度を $h(y,y_{3})$ とおくと，\[\begin{eqnarray} { c }_{ 3 }(x) & = & \int _{ 0 }^{ x }{ h(x,{ y }_{ 3 })dy } \\ & = & \int _{ 0 }^{ x }{ { c }_{ 2 }(y)\cdot { c }_{ 1 } } (x-y)dy \end{eqnarray}\]さらに，\[\begin{cases} \begin{eqnarray} { c }_{ 1 }(x) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ { c }_{ 2 }(x) & = & \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray} \end{cases}\]という結果を用いると，\[\begin{eqnarray} { c }_{ 3 }(x) & = & \int _{ 0 }^{ x }{ \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -\frac { y }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x-y }{ 2 } }dy } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ x }{ { e }^{ -\frac { y }{ 2 } }\cdot { e }^{ -\frac { x-y }{ 2 } }\cdot { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ x }{ { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } \end{eqnarray}\]ここで，$y=x \cdot u$ とおくと，$dy=xdu$ となり，$y:0 \to x$ のとき，$u:0 \to 1$ となることから，\[\begin{eqnarray} { c }_{ 3 }(x) & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ x }{ { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ x }{ { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ x }{ { (x-xu) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }xdu } \end{eqnarray}\]となります．

さらに，\[1-u=v\]とおくと，\[du=-1 \cdot dv\]であるから，$u:0 \to 1$ のとき，$v:1 \to 0$ となり，\[\int _{ 1 }^{ 0 }{ { v }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }(-1)dv=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { v }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dv=2{ \left[ { v }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ 1 } } } =2\]となることを利用すると，\[\int _{ 0 }^{ 1 }{ { (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }du=\int _{ 1 }^{ 0 }{ { v }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }(-1)dv=2 } } \]となります．

ここから，\[\begin{eqnarray} { c }_{ 3 }(x) & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { (x-xu) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }xdu } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }xdu } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }du } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ 1 }{ { (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }du } \\ & = & \frac { 1 }{ 2\sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\cdot 2 \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \end{eqnarray}\]以上より，\[\begin{cases} \begin{eqnarray} { c }_{ 1 }(x) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ { c }_{ 2 }(x) & = & \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ { c }_{ 3 }(x) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray} \end{cases}\]これを，\[\begin{cases} \begin{eqnarray} A_{ 1 } & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \\ { A }_{ 2 } & = & \frac { 1 }{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \end{eqnarray} \end{cases}\]と書き換えると，\[\begin{cases} \begin{eqnarray} c_{ 1 }(x) & =A_{ 1 } & { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ { c }_{ 2 }(x) & =A_{ 2 } & { x }^{ 0 }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ { c }_{ 3 }(x) & =A_{ 3 } & { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray} \end{cases}\]となることより，\[{ c }_{ n }(x)={ A }_{ n }\cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\quad ,\quad (n=1,2,\cdots )\]と表すことができます．

ここで，確率密度の必要条件より，$x > 0$ に注意すると，\[\int _{ 0 }^{ \infty }{ { c }_{ n }(x)dx={ A }_{ n }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ -\frac { n }{ 2 } -1 }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } }dx=1 } } \]となります．

ここで，\[\frac{x}{2}=t\]とおくと，\[dt=2dt\]であり，$x \to \infty$ のとき，$t \to \infty$ となることから，\[\begin{eqnarray} { c }_{ n }(x) & = & { A }_{ n }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ e }^{ -\frac { x }{ 2 } }dx } \\ & = & { A }_{ n }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { (2t) }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ e }^{ -t }\cdot 2dx } \\ & = & { A }_{ n }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { t }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -t }\cdot 2dx } \\ & = & { A }_{ n }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot 2\cdot { t }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -t }dx } \\ & = & { A }_{ n }{ 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { t }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -t }dx } \end{eqnarray}\]ここで，\[\int _{ 0 }^{ \infty }{ { t }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -t }dx } =\Gamma (\frac { n }{ 2 } )\]となることより，\[{ c }_{ n }(x)={ A }_{ n }{ 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { t }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -t }dx } ={ A }_{ n }\cdot { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\cdot \Gamma (\frac { n }{ 2 } )=1\]よって，\[{ A }_{ n }=\frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\cdot \Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \]従って，\[\begin{eqnarray} { c }_{ n }(x) & = & { A }_{ n }\cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\cdot \Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray}\]ここで，$c_{n+1}(x)$ を求めると，\[\begin{cases} \begin{eqnarray} x & = & { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 }+\cdots { y }_{ n+1 } \\ y & = & { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 }+\cdots { y }_{ n } \end{eqnarray} \end{cases}\]とおくと，今までと同様にして，\[\begin{eqnarray} { c }_{ n+1 }(x) & = & \int _{ 0 }^{ x }{ { c }_{ n }(y){ c }_{ 1 }(x-y)dy } \\ & = & \int _{ 0 }^{ x }{ { A }_{ n }{ y }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { y }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot { e }^{ -\frac { x-y }{ 2 } }dy } \\ & = & \int _{ 0 }^{ x }{ { A }_{ n }{ { e }^{ -\frac { y }{ 2 } }\cdot { e }^{ -\frac { x-y }{ 2 } } }{ y }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } \\ & = & \int _{ 0 }^{ x }{ { A }_{ n }{ { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot }{ y }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } \\ & = & { A }_{ n }{ { \cdot e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { y }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } } \end{eqnarray}\]今までと同様に，\[y=x \cdot u\]とおくと，\[dy=xdu\]であることから，$y:0 \to x$ のとき，$u:0 \to 1$ となることから，\[\begin{eqnarray} { c }_{ n+1 }(x) & = & { A }_{ n }{ { \cdot e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { y }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ (x-y) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } } \\ & = & { A }_{ n }{ { \cdot e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { (xu) }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ (x-xu) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }xdy } } \\ & = & { A }_{ n }{ { \cdot e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot x\cdot { u }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } } \\ & = & { A }_{ n }{ { \cdot e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { u }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }{ (1-u) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dy } } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot B(\frac { n }{ 2 } ,\frac { n }{ 2 } ) \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot \frac { \Gamma (\frac { n }{ 2 } )\Gamma (\frac { 1 }{ 2 } ) }{ \Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } } } \cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot \frac { \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } ) }{ \Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } } } \cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot \frac { \sqrt { \pi } }{ \Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } } } \cdot { \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \cdot e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { \pi } } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot \frac { \sqrt { \pi } }{ \Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) } \cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) } \cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\cdot { x }^{ \frac { n+1 }{ 2 } -1 } \\ & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) } \cdot { x }^{ \frac { n+1 }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \end{eqnarray}\]以上より，${ \chi }^{ 2 }$分布の確率密度は，\[{ c }_{ n }(x)=\frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { x }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }\]となります□

Mathematics is the language with which God has written the universe.