群$(group)$

$G$は空でない集合とする．$G$に2項演算が与えられていて，次の条件を満たすとき，$G$はこの演算に関して群$(group)$であるという.

$(G1)$ 結合法則
$\forall a ,b, c \in G, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$

$(G2)$ 単位元の存在
$\exists e \in G, \forall a \in G, a \circ e = e \circ a = a$

$(G3)$ 逆元の存在
$\forall a \in G, \exists b \in G, a \circ b = b \circ a = e$
加法 $+$ における逆元は加法逆元（additive inverse）と言われ，加法逆元の存在によって減法が加法に統合されます．
一方，乗法 $\times$ における逆元は乗法逆元（multiplicative inverse），あるいは，逆数（reciprocal）と言われ，この乗法逆元の存在によって除法が乗法に統合されます.

1階論理による群の表現

$G$ を空ではない集合，$0 \in G$ であり，$+,-$ は $G$ 上の2項演算と1項演算とします．

このとき，群とは構造\[G=\langle G;+,-,0\rangle\]であって，次の1階論理で記述された公理を満たすものです．\[\ \forall x\forall y \forall z[x+(y+z)=(x+y)+z]\tag{1}\]\[\ \forall x[x+0=0]\tag{2}\]\[\ \forall x[x+(-x)=0 \land (-x)+x=0]\tag{3}\]このとき，$G$ は $(1),(2),(3)$ を満たすとか，$G$ は $(1),(2),(3)$ のモデル（model）といい，\[G \models (1)\land(2)\land(3)\]と表します．

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有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ は，加法に関して，加法群となります.また，0 以外の有理数の集合 $\mathbb{Q*}$は乗法に関して可換群となります.

また，実数 $\mathbb{R}$ と 整数 $\mathbb{Z}$ も加算 $+$ について可換群となります.

実数 $\mathbb{R}$ から $0$ を取り除いた集合 \[\mathbb{R}^{*} := \mathbb{R} \backslash \{0\}\]は乗算 $\times$ に関して群となります．

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参照：位数（order），部分群（subgroup）

Mathematics is the language with which God has written the universe.