$(R1)$ 和について可換群である．
$(R2)$ 積について結合法則を満たす．
$(R3)$ 分配法則を満たす．
つまり，2項演算が1つ与えられた代数系が群であり,2項演算を2つ与えられた代数系が環である．
環は「サークル」が語源だとされています.
環がサークルの意味から来ているとすると，集合[set]，集合の包含関係を抽象化した束[lattice]，足し算や掛け算を抽象化した代数構造である群[group]，群の2つの演算に加えて演算の関係も加味した環[ring]，環の特殊なケースである体[field;body]，と概念関係がスッキリします.
環とは構造\[R=\langle R;+,\cdot,0,1\rangle\]であって，次の1階論理で記述された公理を満たすものです．\[\ \forall x\forall y \forall z[x+(y+z)=(x+y)+z]\tag{1}\]\[\ \forall x[x+0=0]\tag{2}\]\[\ \forall x[x+(-x)=0 \land (-x)+x=0]\tag{3}\]\[\forall x\forall y[x+y=y+x]\tag{4}\]\[\forall x\forall y[x \cdot y=y \cdot x]\tag{5}\]\[\forall x\forall y\forall z[(x \cdot y)\cdot y=x \cdot(y \cdot z)]\tag{6}\]\[\forall x\forall y\forall z[x\cdot(y+z)=(x \cdot y)+(x \cdot y)]\tag{7}\]\[\forall x[x \cdot 1=x]\tag{8}\]\[0 \neq 1\tag{9}\]このとき，環 $R$ は $(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9)$ を満たすとか，環 $R$ は $(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9)$ のモデル（model）といい，\[R \models (1)\land(2)\land(3)\land(4)\land(5)\land(6)\land(7)\land(8)\land(9)\]と表します．
2個の元に対して1つの元を求める操作のこと.和や積が2項演算の例になります.
Mathematics is the language with which God has written the universe.