束
束[lattice]
半順序集合 $(L,\leq)$ であって，$L$ のどの二元 $x, y$ に対しても $L$ の部分集合$ {x, y} $の順序 $\leq$ に関する下限 $inf\{x, y\}$ と上限 $sup\{x, y\}$ が存在するもののことを束[そく]といいます．
この束[lattice]の定義を順序構造としての定義といいます．
束には代数的定義もあります．
束[lattice]
集合 $L$ に2項演算 $\wedge , \vee$ が定義され，以下の法則に従うとき，$(L,\wedge,\vee)$ は束であるといいます．
- 冪等律：$x \wedge x =x \vee x=x$
- 交換律：$x \wedge y = y \wedge x, x \vee y=y \vee x$
- 結合律：$(x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge z)$
- 吸収律：$(x \wedge y) \vee x=x$
束[lattice]の順序構造による定義と代数的定義は，半順序によって定義された束において \[\{x,y\}\] の下限と上限を \[ x \wedge y , x \vee y\]と表せば同値になります．
半束[semilattice]
\[\forall x,y \in L,x \vee x \in L\]であるとき，$L$ は結び半束[join-semilattice]といいます．
\[\forall x,y \in L,x \wedge y \in L\]であるとき，交わり半束[meet-semilattice]といいます．
この半束[semilattice]の概念は束の概念を含みます．また，分配律を満たす相補束であるブール代数[boolean algebra]やブール代数[boolean algebra]を一般化させた直観主義論理の真偽値の代数構造であるハイティング代数[Heyting algebra]，量子論理とも言われる直相補モジュラー束の概念を含みます．
モジュラー束[modular lattice]
以下のモジュラー律を満たす束$(L,\vee,\wedge)$をモジュラー束といいます．\[x,y \in L,x \vee y =y \Rightarrow \forall z \in L,(x \vee z) \wedge y=x \vee (z \wedge y)\]
分配束[distributive lattice]
$\forall x,y,z \in L$ が以下の分配律を満たすとき，束 $(L,\vee\wedge)$ を分配束といいます．\[\begin{eqnarray}x \vee(y \wedge z)&=&(x \vee y) \wedge (a \vee z) \\ x \wedge (y \vee z)&=&(x \wedge y) \vee (x \wedge z)\end{eqnarray}\]
なお，任意の分配束はモジュラー束となります．
最大元と最小元
$(L,\vee,\wedge)$ を束とするとき，$\forall x \in L$ について，\[x \vee M =M\]を満たす $M \in L$ を束$(L,\vee,\wedge)$ の最大元といいます．
また，\[a \wedge m=m\]を満たす $m \in L$ を束$(L,\vee,\wedge)$ の最小元といいます．
補元[complement]
$M,m$ を束 $(L,\vee,\wedge)$ の最大元，最小元とします．そのとき，$\forall x \in L$ について，\[x \vee y =M,x \wedge y=m\]となる $y \in L$ を$x$ の補元といいます．
補元はあらゆる任意の元に存在するという訳ではありません．
相補束[complemented lattice]
任意の元に補元が存在する束を相補束[可補束]といいます．
相補分配束であるブール代数は相補モジュラー束となります．また，量子力学で用いられる数学は，古典力学的な数学を直相補モジュラー束[=量子論理]にもとづいて解釈しなおしたものと考えることができます．そして，直相補モジュラー束[直交相補モジュラー束;orthomodular lattice]はヒルベルト空間の部分空間の作る束によって表現されます．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
