アフィン空間
ベクトル空間から原点を取り除いたものを
アフィン空間といいます．物理学者ジョン・バエズはアフィン空間とは原点を忘れてしまったベクトル空間のことである[ "An affine space is a vector space that's forgotten its origin"]」と表現しています．
アフィン[affine]というのは，ラテン語で「同族の」という意味の affinis が語源で疑似的なという意味を持ちます．
アフィン結合[affine combination]
与えられた体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ において，$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ をその元とするとき，\[\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}x_{i}=\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+ \cdots +\alpha_{n}x_{n}\]という線形結合の係数和が $1$ であるとき，\[\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}=1\]これをアフィン結合[affine combination]といいます．
アフィン結合について閉じていることをアフィン構造を持つといいます．ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などという計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化したものがアフィン空間です．
アフィン空間[affine space]
与えられた体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ において，以下の条件を満たす $X$ から $X$ への写像の族\[\{\tau;v \in V\}\]が与えられているとき，$X$ は $V$ を基準ベクトル空間とする
アフィン空間であるといいます．
- 任意の $u,v \in V$ に対して，$\tau_{u} \circ \tau_{v}=\tau_{u+v}$
- 任意の $p,q \in X$ に対して唯一の $v \in V$ が存在し $\tau_{v}(p)=q$
Mathematics is the language with which God has written the universe.
