集合 $X$ の元の対に関する条件を $X$ の2項関係（binary relation）といい，$R$ で表します．
2項関係 $R$ によって定義される $X \times X$ の部分集合，\[\{(x,y) \in X \times X\ |\ R\}\]を，$R$ のグラフ（graph）といいます．
$R$ と $R'$ を $X$ の2項関係，$C,C' \subset X \times X$ を，そのグラフであるとき，$C=C'$ ならば $R$ と $R'$ は同値（equivalent）といいます．
$(x,y) \in X \times X$ が $R$ を満たすことを，\[x \sim_{R} y\]もしくは，\[R(x,y)((x,y) \in X \times X)\]と表します．ここで，$X \times X$ を $A$ とします．
このとき，$R$ が以下の3つの条件を満たすとき，$R$ は $X$ 上の同値関係（equivalence relation）といいます．\[\forall x \in A[R(x,x)]\tag{1}\]\[\forall x,y \in A[R(x,y) \to R(y,x)]\tag{2}\]\[\forall x,y,z \in A[R(x,y) \land R(y,z) \to R(x,z)]\tag{3}\]なお，上記の条件$(1),(2),(3)$を反射律（reflexive law），対称律（symmetry law），推移律（transitive law）といいます．
集合 $A$ 上の反射的，対称的，推移的な2項関係 $R(x,y)(x,y \in A)$ は同値関係といい，\[x \sim_{R} y\]もしくは，\[x \simeq y\]と表します．
このとき，$A$ は $\sim_{R}$ ，$\simeq$ によって類別，分割されます．
ここで，$x \in A$ について，\[[x]:=\{y \in A\ |\ y \simeq x\}\]を，$x$ を代表元（representative）とする同値類（equivalence class）といいます．
同値類の考え方から，\[[x]=[y] \Longleftrightarrow x \simeq y\]となります．
同値類の全体の集合は，\[A \backslash \simeq := \{[x]\ |\ x \in A\}\]と表し，$A$ の $\simeq$ による商集合（quotient set）といいます．
Mathematics is the language with which God has written the universe.