辺の長さが，$a,b,c$ である直角三角形を考えます．
ピタゴラスの定理では，\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]となります．
ここで，この直角三角形の各辺の長さと等しい正方形を作って，直角三角形の辺の上に乗せます．
そして，下図のようになったところで，$BG$ に平行になるように，直角三角形の点 $C$ から正方形 $ABGE$ の辺 $GE$ に直線を引きます．
こうすることで，正方形 $ABGE$ が2つの長方形に分割されます．
次に，三角形 $ACE$ を考えます．この三角形 $ACE$ の点 $C$ を線分 $CF$ に沿って点 $F$ までスライドさせます．点 $C$ を点 $F$ までスライドさせると，三角形 $AEF$ が出来あがります．
この三角形 $AEF$ と元の三角形 $ACE$ は辺 $AE$ に対する高さが同じなので面積も同じになります．
ここで，三角形 $AEF$ は $EF$ を一辺とする長方形の半分の面積になっています．
続いて，下図のように三角形 $ABE$ を考えます．
同じようにして，この三角形 $ABD$ の点 $B$ を点 $C$ にまでスライドさせます．そうすると，三角形 $ACD$ が出来あがります．この三角形 $ACD$ は元の三角形 $ABD$ と辺 $AD$ に対する高さが同じになっているので面積も同じになります．
そして，三角形 $ACD$ は $AC$ を一辺とする正方形の面積の半分になっています．
ここで，三角形 $ACE$ と三角形 $ABD$ を比較してみます．
すると，\[AC=AD\,AE=AB\]であり，\[\angle DAB=90^\circ + \angle CAB\]であり，\[\angle CAE=90^\circ + \angle CAB\]なので，結局，\[\angle DAB = \angle CAE\]となり，$\angle DAB,\angle CAE$ をなす辺の長さも同じなので，三角形 $ACE$ と三角形 $ABD$ の面積は等しいということになります．
先ほどの結果から，三角形 $ABD$ の面積は $AC$ を一辺とする正方形の半分であり，三角形 $ACE$ は $AE$ と $EF$ を辺とする長方形の面積の半分なので，$AC$ を一辺とする正方形の面積は $AE$ と $EF$ を辺とする長方形の面積に等しいということになります．
次に上図の三角形 $CBG$ を考えます．
先ほどと同じく，点 $C$ を点 $F$ にまでスライドさせます．そうして出来あがった三角形 $BGF$ は元の三角形 $CBG$ と辺 $GB$ に対する高さが同じなので面積が同じということになります．
また，三角形 $BGF$ は $BG,FG$ を辺とする長方形の面積の半分になっています．
続いて，三角形 $ABH$ を考えます．
三角形 $ABH$ の点 $A$ を点 $C$ にまでスライドさせると，三角形 $BCH$ が出来あがります．この三角形 $BCH$ は $BC$ を一辺とする正方形の面積の半分になっています．
ここで，三角形 $CBG$ と三角形 $ABH$ を比較します．
\[CB=BH,BG=AB\]となっていて，\[\angle CBG=90^\circ + \angle ABC\]であり，\[\angle ABH=90^\circ + \angle ABC\]なので，結局，\[\angle CBG = \angle ABH\]となり，$\angle CBG,\angle ABH$ をなす辺の長さも同じなので，三角形 $CBG$ と三角形 $ABH$ の面積は等しいということになります．
先ほどの結果と合わせると，$BG,FG$ を辺とする長方形の面積と $BC$ を辺とする正方形の面積は同じということになります．
ここまでの全ての結果を合わせると，$AC$ を一辺とする正方形の面積と $BC$ を一辺とする正方形の面積は $AB$ を一辺とする正方形の面積と同じということになります．
つまり，上の図でいうと，\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]ということになります．
Mathematics is the language with which God has written the universe.