点 $P(x,y)$ が原点 $O$ を中心に角度 $\beta$ だけ回転して，点 $P'(x',y')$ に移動するということを考えます．
半径を $r$ とすると，$P$ の座標は，\[\begin{align}x&=r\cos\alpha\\y&=r\sin\alpha\end{align}\]つまり，\[\begin{align}\cos\alpha&=\frac{x}{r}\\\sin\alpha&=\frac{y}{r}\end{align}\]と表すことができます．
また，$P'$ の座標は，半径の長さは同じく $r$ なので，\[\begin{align}x'&=r\cos(\alpha+\beta)\\y'&=r\sin(\alpha+\beta)\end{align}\]と表すことが出来ます．
ここで，三角関数の加法定理より，\[\begin{align}x'&=\cos(\alpha+\beta)=r(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\y'&=r\sin(\alpha+\beta)=r(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\end{align}\]となります．
上記の式に\[\begin{align}\cos\alpha&=\frac{x}{r}\\\sin\alpha&=\frac{y}{r}\end{align}\]を代入すると，\[\begin{align}x'&=r(\frac{x}{r}\cos\beta-\frac{y}{r}\sin\beta)=x\cos\beta-y\sin\beta\\y'&=r(\frac{y}{r}\cos\beta+\frac{x}{r}\sin\beta)=x\sin\beta+y\cos\beta\end{align}\]となります．
つまり，\[\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos\beta&-\sin\beta\\\sin\beta&\cos\beta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\]と表すことが出来ます．
次に，点 $P$ を移動させずに，座標軸そのものを原点 $O$ を中心に角度 $\beta$ だけ回転させてみます．
点 $P$ の座標は，\[\begin{align}x&=r\cos\alpha\\y&=r\sin\alpha\end{align}\]つまり，\[\begin{align}\cos\alpha&=\frac{x}{r}\\\sin\alpha&=\frac{y}{r}\end{align}\]となります．
座標軸を回転させた後の点 $P$ の座標は，\[\begin{align}X&=r\cos(\alpha-\beta)\\Y&=r\sin(\alpha-\beta)\end{align}\]となります．ここで，三角関数の加法定理より，\[\begin{align}X&=r\cos(\alpha-\beta)=r(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\Y&=r\sin(\alpha-\beta)=r(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\end{align}\]と表現出来ます．
ここに，\[\begin{align}\cos\alpha&=\frac{x}{r}\\\sin\alpha&=\frac{y}{r}\end{align}\]を代入すると，\[\begin{align}X&=r(\frac{x}{r}\cos\beta+\frac{y}{r}\sin\beta)=x\cos\beta+y\sin\beta\\Y&=r(\frac{y}{r}\cos\beta-\frac{x}{r}\sin\beta)=-x\sin\beta+y\cos\beta\end{align}\]となります．
つまり，\[\left(\begin{array}{c}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos\beta&\sin\beta\\-\sin\beta&\cos\beta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\]と表すことが出来ます．
Mathematics is the language with which God has written the universe.