コルモゴロフの第1公理

標本空間 $\Omega$ の部分集合族 $\mathscr{F}$ のうち，以下の条件を満たすものを $\sigma$ 集合族といいます．

1. $\Sigma \in \mathscr{F}$
2. $A \in \mathscr{F}$ ならば $A^{c} \in \mathscr{F}$
3. $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \in \mathscr{F}$ ならば $\cup^{\infty}_{n=1}A_{n} \in \mathscr{F}$

ここで，1.と2.より，\[\Omega \in \mathscr{F}\]であるから，\[\Omega^{c}=\emptyset \in \mathscr{F}\]となります．

また，\[A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \in \mathscr{F}\]であるならば，2.から，\[A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},\cdots \in \mathscr{F}\]となります．

この結果に 3. を適用すると，\[\cup^{\infty}_{n=1}A_{n}^{c} \in \mathscr{F}\]となります．

ここで， 2. とド・モルガンの法則を使うと，\[(\cup^{\infty}_{n=1}A_{n}^{c})^{c}=\cap^{\infty}_{n=1}(A_{n}^{c})^{c}=\cap^{\infty}_{n=1}A_{n} \in \mathscr{F}\]となります．

以上の内容はコルモゴロフの第1公理そのものになります．

実は，コルモゴロフの第1公理は，$A,B,C$という事象が$\sigma$集合族$\mathscr{F}$に含まれている事象であることを意味しているのです．

Mathematics is the language with which God has written the universe.