ガウスの積分公式

ここで，変数の異なる2つのガウス積分[Gaussian integral]を考えます．\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^{2}}dy\]この2つのガウス積分[Gaussian integral]を掛け合わせると，\[\begin{eqnarray}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^{2}}dy&=&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}e^{-ay^{2}}dxdy\\&=&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{a(x^{2}+y^{2})}dxdy\end{eqnarray}\]ここで，\[x=r \cos \theta,y=r \sin \theta\]と直交座標系から極座標系へと変数変換します．

この変数変換によって，直交座標系の微小面積 $dxdy$ について，$x$ を $-\infty$ から $\infty$ まで，$y$ を $-\infty$ から $\infty$ まで積分するというものが，極座標系では微小面積 $rd\theta dr$ について，$r$ を $0$ から $\infty$ まで，$\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで積分するというものに変わります．

すなわち，\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{a(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}rdrd\theta\]ここで，\[r^{2}=x^{2}+y^{2}\]であることから，\[\begin{eqnarray}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}rdrd\theta&=&\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^{2}}rdrd\theta\\&=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}e^{-ar^{2}}rdr\\&=&2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^{2}}rdr\\&=&\frac{-2\pi}{2a}\left[e^{-ar^{2}}\right]_{0}^{\infty}\\&=&\frac{\pi}{a}\end{eqnarray}\]となります．

この結果がガウス積分の公式と呼ばれるものです．

すなわち，\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^{2}}dy=\frac{\pi}{a}\]この式を変形すると，\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}dx=\sqrt{\mathstrut \frac{\pi}{a}}\]

Mathematics is the language with which God has written the universe.