数列と極限の定義
数列
自然数$\mathcal{N}$ から 実数$\mathbb{R}$ への関数，つまり，\[a:\mathbb{N} \ni n \mapsto a(n) \in \mathbb{R}\]のことを数列といいます．
$n$ における値 $a(n)$ を $a_{n}$ と書いて，数列を $a={a_{n}}$ と表すことがあります．
数列の収束
数列 ${a_{n}}$ が $\alpha \in \mathbb{R}$ に収束するとは，\[\forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N}, n \geq N \to |a_{n} - \alpha| < \epsilon\]が成り立つことと定義されます．
数列 ${a_{n}}$ が $\alpha \in \mathbb{R}$ に収束するということを，\[lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha,a_{n} \to \alpha(n \to \infty)\]と表したりします．
数列が有界であっても，その数列が極限をもつとは限りません．ところが，数列が有界であれば，上限と下限は存在します．
上限[supremum]
数列 ${a_{n}}$ が上に有界のとき， ${a_{n}}$ の上界のうち最小のものを上限[supremum]といい，\[sup \{a_{n}}\\]と表します．
下限[infimum]
数列 ${a_{n}}$ が下に有界のとき， ${a_{n}}$ の下界のうち最大のものを下限[infimn]といい，\[inf \{a_{n}}\\]と表します．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
