ベルヌーイ分布とポアソン分布

ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]はヤコブ・ベルヌーイ[Jakob Bernoulli，1654年12月27日-1705年8月16日]に因んで名づけられました．

ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]は指数分布族です．

このベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]において，\[n \to \infty, p \to 0\]とすると，ポアソン分布[Poisson distribution]になることが知られています．

ここで，ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]の期待値 $\mu$ が，\[\mu=np\]となり，\[p=\frac{\mu}{n}\]となることから，

\[\begin{eqnarray}P_{B}(x)&=&_{n}C_{x}p^{x}q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^{x}(1-q)^{n-x}\\&=&\frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-x+1)}{x!}(\frac{\mu}{n})^{x}(1-\frac{\mu}{n})^{n-x}\\&=&\frac{n^{x}1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{x-1}{n})}{x!}\frac{\mu^{x}}{n^{x}}(1-\frac{\mu}{n})^{n}(1-\frac{\mu}{n})^{-x}\end{eqnarray}\]ここで，\[n \to \infty\]となると，\[\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{x-1}{n}\]などは $0$ になります．

また，\[-\frac{n}{\mu}=\theta\]とおくと，$n \to \infty$ のとき，$\theta \to -\infty$ となり，\[lim_{\theta \to \pm \infty}(1+\frac{1}{\theta})^{\theta}=e\]となることから，\[\begin{eqnarray}(1-\frac{\mu}{n})^{n}&=&((1+\frac{1}{-\frac{n}{\mu}})^{-\frac{n}{\mu}})^{-\mu}\\&=&((1+\frac{1}{\theta})^{\theta})^{-\mu}\\&=&e^{-\mu}\end{eqnarray}\]以上から，\[lim_{n \to \infty}P_{B}(x)=e^{-\mu}\frac{\mu^{x}}{x!}\]となり，ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]からポアソン分布[Poisson distribution]が導かれます．

Mathematics is the language with which God has written the universe.