期待値
【定義】期待値[expected value]
$g(X)$ を確率変数，$g(X)$ の分布関数を \[F_{X}(x) \equiv P(X \leqq x)\]とします．このとき，確率変数 $g(X)$ の期待値 $E\{g(X)\}$ は，\[E\{g(X)\} \equiv \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF_{X}(x) = \begin{cases} \sum_{i=1}^{\infty}g(x_{i})f_{X}(x_{i})&(離散型)\\ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_{X}(x)dx & (連続型)\end{cases}\]と定義されます．
但し，$f_{X}(\cdot)$ は離散型の場合は確率関数を，連続型の場合は密度関数を表すとします．
期待値の定義に用いられる\[\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF_{X}(x)\]はリーマン＝スティルチェス積分[Riemann=Stieltjes integral]といいます．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
