マルコフの不等式[Markov's inequality]を\[k=\frac{a}{E[X]}\]とおいて，少し変形すると，\[P(|X| \geq kE[|X|]) \leq \frac{1}{k}\]となります．
これは，平均の $k$ 倍を越える確率が $\frac{1}{k}$ 以下であるということを表しています．
以下に証明を示します．\[\begin{eqnarray}E[|X|]&=&\int_{-\infty}^{infty}|x|f(x)dx\\&\geq&\int_{-\infty}^{-a}|x|f(x)dx+\int_{-a}^{\infty}|x|f(x)dx \end{eqnarray}\]
ここで，積分する区間を\[|x| \geq a\]に制限しています．
そして，\[|x|f(x) \geq 0\]であるので，この制限によって積分した結果の値は制限していない場合と比較して小さくなります．
さらに，$|a| \geq 0$ ということを加味すると，\[\begin{eqnarray} E[|X|]&\geq&\int_{-\infty}^{-a}|x|f(x)dx+\int_{-a}^{\infty}|x|f(x)dx]\\&\geq&a\int_{-\infty}^{-a}f(x)dx+a\int_{a}^{\infty}f(x)dx \end{eqnarray} \]となります．
ここで，\[\begin{eqnarray} a\int_{-\infty}^{-a}f(x)dx+a\int_{a}^{\infty}f(x)dx&=&aP(X \leq -a)+aP(X \geq a)\\&=&aP(|X| \geq a) \end{eqnarray}\]となるので，結局，\[E[|X|] \geq aP(|X| \geq a)\]となります□
Mathematics is the language with which God has written the universe.