チェビシェフの不等式

この不等式は，どのような標本・確率分布でも成り立つ，確率分布と標準偏差の関係を表すもので，パフヌティ・チェビシェフ[Pafnuty Lvovich Chebyshev;1821/5/16-1894/12/8]により証明されました．

チェビシェフの不等式[Chebyshev's inequality]は，マルコフの不等式から導くことが出来ます．

つまり，マルコフの不等式\[P(|X| \geq a) \leq \frac{E[|X|]}{a} \]において，$a$ を $a^{2}$ に，$X$ を $(X-\mu)^{2}$ と置き換えると，\[P(|X-\mu|^{2} \geq a^{2})=P(|X - \mu| \geq a)\]となるので，結局，\[P(|X - \mu| \geq a) \leq \frac{E[|X - \mu|^{2}]}{a^2}\]が成り立ちます□

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