距離

定義：距離

集合 $X$ の任意の2点 $x,y$ に対して実数 $d(x,y)$ が与えられているとする.
このとき,以下の3条件を満たすとき,$d$ は $X$ 上の距離[distance,metric]という.

$d(x,y) \geq 0$ で,かつ,$d(x,y)=0$ は $x=y$ と同値.
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,y) \leq d(x,z) + d(y,z)$

上記の3条件は距離の公理ともいう.また,最初の条件の\[d(x,y) \geq 0\]は正値性といい,\[d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y\]は不可識別者同一性,もしくは,ノルム性とよばれる.最後の条件式は三角不等式という.さらに,集合 $X$ とその上の距離 $d$ の組である $d(X,d)$ を距離空間[metric space]という.

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