三角不等式

$a,b$ を実数とすると,\[|a| + |b| \geq |a+b| \]が成り立つ.

\[ \begin{eqnarray} (|x|+|y|)^{2}-|x+y|^{2} &=& (|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2})-(x+y)^{2} \\ &=& x^{2}+2|xy|+y^{2}-(x^{2}+2xy+y^{2}) \\ &=& 2(|xy| - xy) \geq 0 \end{eqnarray} \]ここで,\[ |x|+|y| \geq 0 , |x+y| \geq 0 \]であることから,\[|a| + |b| \geq |a+b| \]

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二項分布とポアソン分布の関係上界と下界関数関数空間ヒルベルト立方体数列の収束