デカルト・グアの定理

デカルト・グアの定理 De Gua's Theorem

三直角四面体OABCに対して,\[ \begin{eqnarray}\triangle{OBC}&=&S_{A}\\ \triangle{OCA}&=&S_{B}\\ \triangle{OAB}&=&S_{C}\\ \triangle{ABC}&=&S\end{eqnarray}\]とおくと,\[S^{2}=S_{A}^{2}+S_{B}^{2}+S_{C}^{2}\]が成り立つ.

\[\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\overline{OH}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]より,\[\overline{OH}=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\]となる.

この結果とピタゴラスの定理より,\[\begin{eqnarray}\overline{CH}&=&\sqrt{\overline{OH}^{2}+\overline{OC}^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+c^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\&=&\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\end{eqnarray}\]となる.

次に,$\triangle{ABC}$ の面積を求める.\[\overline{AB}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]であることから,\[\begin{eqnarray}\triangle{ABC}&=&\frac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{CH}\\&=&\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\end{eqnarray}\]つまり,\[S=\overline{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}}\]以上より,\[S^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\]また,\[\begin{eqnarray}\triangle{OAB}&=&S_{1}=\frac{1}{2}ab\\\triangle{OBC}&=&S_{2}=\frac{1}{2}bc\\\triangle{OCA}&=&S_{3}=\frac{1}{2}ca\end{eqnarray}\]であるから,\[\begin{eqnarray}S_{1}^{2}&=&\frac{1}{4}a^{2}b^{2}\\S_{2}^{2}&=&\frac{1}{4}b^{2}c^{2}\\S_{3}^{2}&=&\frac{1}{4}c^{2}a^{2}\end{eqnarray}\]従って,\[S^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\]となる.

なお,デカルト・グアの定理は,ピタゴラスの定理の空間への拡張版と言われる.

Mathematics is the language with which God has written the universe.

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