t分布

スチューデントのt分布．$X1, ..., Xn$ が，平均$\mu$，分散$\sigma^{2}$の正規分布に従う独立な確率変数であるとき，その標本平均を\[\overline{X}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}\]とし，不偏分散を\[U_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n ( X_i-\overline{X}_n )^2\]とする.

ここで次の変数\[T = \frac{\overline{X}_n-\mu}{U_n/\sqrt{n}}\]を考える．

すると，\[f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}\]という確率密度関数に従，その分布をt分布あるいはスチューデントのt分布という．

但し，$\nu=n-1$であり自由度であり，$\Gamma$はガンマ関数である．

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.