平方和$S$と$S/\sigma^{2}$の分布

母分散の推計で用いられる平方和\[S=\Sigma^{n}_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}\]の分布について，次の定理が知られている．

$n$個のデータ\[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\]が正規分布$N(\mu,\sigma^{2})$に独立に従うとき，\[S/\sigma^{2}=\Sigma^{n}_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}/\sigma^{2}\]は自由度\[\phi=n-1\]の$\chi^{2}$分布に従う.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.