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σ集合族

集合族[family of sets]

元がすべて集合であるような集合を集合族[family of sets]といいます．

$A,B,C$ が集合であるとするとき，\[\{A,B,C\}\]は集合族となります．

集合族に関連して，集合族の直積や集合系といった概念もあります．

部分集合族

集合 $A$ の部分集合のみを考えるとき，部分集合の集まり $B$ は $A$ の部分集合族といいます．

$\sigma$ 集合族[$\sigma$-field]

標本空間 $\Omega$ の部分集合族 $\mathscr{F}$ のうち，以下の条件を満たすものを $\sigma$ 集合族といいます．

$\Omega \in \mathscr{F}$
$A \in \mathscr{F}$ ならば $A^{c} \in \mathscr{F}$
$A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \in \mathscr{F}$ ならば $\cup^{\infty}_{n=1}A_{n} \in \mathscr{F}$

標本空間 $\Omega$ の $\sigma$-集合族の中で最小のものは，\[\mathscr{F}=\{\Omega,\emptyset\}\]となります．

$\sigma$ 集合族[$\sigma$-field]は，$\sigma$ 集合体，$\sigma$ 代数，完全加法族などとも呼ばれます．

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.