定義：Bernoulli distribution
確率変数 $X$ が従う確率分布をパラメータ $p$ （$0 \leq p \leq 1$）のベルヌーイ分布といい,$Bin(1,p)$ と表す.\[ X \sim \text{Bin}(1,p) \]なお,$X$ は以下の確率で値を取る.\[\begin{eqnarray}P(X = 1) &=& p \\P(X = 0) &=& 1 - p\end{eqnarray}\]ベルヌーイ分布の確率質量関数は以下のように定義される.\[ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x}, \quad x \in \{0, 1\} \]より明示的に,\[ P(X = x) = \begin{cases} p & \text{if } x = 1 \\ 1-p & \text{if } x = 0\end{cases} \]
ベルヌーイ分布の累積分布関数は以下のように定義される.\[F(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < 0 \\ 1-p & \text{if } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{if } x \geq 1\end{cases}\]
ベルヌーイ分布 $X \sim \text{Bernoulli}(p)$ の期待値と分散は以下のように与えられる.\[\begin{eqnarray}E[X] &=& p \\\text{Var}(X) &=& p(1-p)\end{eqnarray}\]期待値：\[\begin{eqnarray}E[X] &=& 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) \\ &=& 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p\end{eqnarray}\]分散：\[\begin{eqnarray}\text{Var}(X) &=& E[X^2] - (E[X])^2 \\ &=& 1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0) - p^2 \\&=& p - p^2 = p(1-p)\end{eqnarray}\]
ベルヌーイ分布のモーメント母関数は以下のように与えられる.\[ M_X(t) = E[e^{tX}] = 1-p + pe^t \]これは,\[\begin{eqnarray}M_X(t) &=& E[e^{tX}] \\&=& e^{t\cdot1} \cdot P(X=1) + e^{t\cdot0} \cdot P(X=0) \\&=& e^t \cdot p + 1 \cdot (1-p) \\&=& 1-p + pe^t\end{eqnarray}\]として求められる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.