二項分布

累積分布関数 [CDF]

二項分布の累積分布関数は以下のように定義される.\[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]ここで,$\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す.

期待値と分散

二項分布 $X \sim \text{Bin}(n, p)$ の期待値と分散は以下のように与えられる.\[\begin{eqnarray}E[X] &=& np \\\text{Var}(X) &=& np(1-p)\end{eqnarray}\]

導出

二項分布は $n$ 個の独立したベルヌーイ分布の和と見なせる.従って,各ベルヌーイ分布 $X_i \sim \text{Bin}(1,p)$ に対して,$E[X_i] = p$, $\text{Var}(X_i) = p(1-p)$ となる.ここで,線形性により,\[\begin{eqnarray}E[X] &=& E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = np \\ \text{Var}(X) &=& \text{Var}(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = np(1-p)\end{eqnarray}\]

モーメント母関数

二項分布のモーメント母関数は以下のように与えられる.\[ M_X(t) = (1-p + pe^t)^n \]

導出

二項分布は $n$ 個の独立したベルヌーイ分布の和であることから,まず,その個別のモーメント母関数を計算する.\[\begin{eqnarray}E[e^{tX_i}] &=& e^{t\cdot1} \cdot P(X_i = 1) + e^{t\cdot0} \cdot P(X_i = 0) \\&=& e^t \cdot p + 1 \cdot (1-p) \\&=& 1 - p + pe^t\end{eqnarray}\]これを元のモーメント母関数の式に代入すると,\[\begin{eqnarray}M_X(t) &=& E[e^{tX_1}] \cdot E[e^{tX_2}] \cdots E[e^{tX_n}] \\&=& (1-p + pe^t) \cdot (1-p + pe^t) \cdots (1-p + pe^t) \\&=& (1-p + pe^t)^n\end{eqnarray}\]となる.

Mathematics is the language with which God has written the universe.