二項分布の再生性

証明

二項分布 $\text{Bin}(n, p)$ の確率母関数は以下で与えられる.\[ G_X(t) = (1-p + pt)^n \]$X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ と $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ の確率母関数をそれぞれ $G_X(t)$, $G_Y(t)$ とすると,\[\begin{eqnarray}G_X(t) &=& (1-p + pt)^{n_1} \\G_Y(t) &=& (1-p + pt)^{n_2}\end{eqnarray}\]$X$ と $Y$ が独立であるため, $X+Y$ の確率母関数 $G_{X+Y}(t)$ は,\[\begin{eqnarray}G_{X+Y}(t) &=& G_X(t) \cdot G_Y(t) \\&=& (1-p + pt)^{n_1} \cdot (1-p + pt)^{n_2} \\ &=& (1-p + pt)^{n_1 + n_2}\end{eqnarray}\]これは $\text{Bin}(n_1 + n_2, p)$ の確率母関数と一致する.確率母関数は分布を一意に決定するため, $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$ が成り立つ◻︎

再生性の意味と応用

• 試行の分割: $n$ 回の試行を $n_1$ 回と $n_2$ 回（$n = n_1 + n_2$）に分割しても,各部分の成功回数の和は元の試行の成功回数と同じ分布に従う.
• サンプリングの累積: 同じ成功確率 $p$ を持つ複数の独立なサンプリング結果を合計する際,個々のサンプルサイズを合計した二項分布として扱うことができる.

Mathematics is the language with which God has written the universe.