定理：
このとき,\[\lim_{N \to \infty} \text{HG}(N,K,n) = \text{Bin}(n,p)\]ここで,\[\begin{eqnarray}\text{HG}(N,K,n) &=& \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\\ \text{Bin}(n,p) &=& \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\end{eqnarray}\]
超幾何分布の確率質量関数は,\[\text{HG}(N,K,n)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\]二項分布の確率質量関数は,$p = \frac{K}{N}$ として,\[\text{Bin}(n,p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
ここで,$N \to \infty$ のとき, $p = \frac{K}{N}$ を一定に保ちながら極限を取ることを考える.
まず,超幾何分布の各項を変形する.\[\binom{K}{k} = \frac{K!}{k!(K-k)!} = K^k \cdot \frac{K-1}{1} \cdot \frac{K-2}{2} \cdot ... \cdot \frac{K-k+1}{k-1} \cdot \frac{1}{k!}\]\[\begin{eqnarray}\binom{N-K}{n-k} &=& \frac{(N-K)!}{(n-k)!((N-K)-(n-k))!}\\ &=& (N-K)^{n-k} \cdot \frac{N-K-1}{1} \cdots \frac{N-K-(n-k)+1}{n-k-1} \cdot \frac{1}{(n-k)!}\end{eqnarray}\]\[\begin{eqnarray}\binom{N}{n} &=& \frac{N!}{n!(N-n)!} \\&=& N^n \cdot \frac{N-1}{1} \cdot \frac{N-2}{2} \cdots \frac{N-n+1}{n-1} \cdot \frac{1}{n!}\end{eqnarray}\]
続いて,$N \to \infty$ のときのの各項の極限をとる.\[\lim_{N \to \infty} \frac{K^k}{N^k} = p^k\]\[\lim_{N \to \infty} \frac{(N-K)^{n-k}}{N^{n-k}} = (1-p)^{n-k}\]\[\lim_{N \to \infty} \frac{K-1}{N-1} = \lim_{N \to \infty} \frac{K-2}{N-2} = \cdots = p\]\[\lim_{N \to \infty} \frac{N-K-1}{N-1} = \lim_{N \to \infty} \frac{N-K-2}{N-2} = \cdots = 1-p\]以上のこれらの極限を用いて超幾何分布の各項を変形すると,\[\begin{eqnarray}\lim_{N \to \infty} \text{HG}(N,K,n) &=& \lim_{N \to \infty} \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\\&=& \frac{k!(n-k)!}{n!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\&=& \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}&=& P_B(X = k)\end{eqnarray}\]従って,$N \to \infty$ のとき超幾何分布は二項分布に収束する◻︎
Mathematics is the language with which God has written the universe.