ポアソン分布

ポアソン分布は稀な事象の法則と呼ばれる.これは,すなわち,多数の試行 $(n \to \infty)$ において,各試行での成功確率が非常に小さい $(p \to 0)$ 場合の事象の発生回数を模型化している.

ポアソン分布の確率質量関数の導出

まず,二項分布を考える.\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]ここで, $n \to \infty, p \to 0$ とし, $np = \lambda$（一定）とする.二項分布の確率質量関数を変形する.\[\begin{eqnarray}P(X = k) &=& \frac{n!}{k!(n-k)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\ &=& \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{\lambda^k}{n^k} \cdot \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \cdot \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\end{eqnarray}\]$n \to \infty$ の極限を取る.\[\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} P(X = k) &=& \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^k} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \\ &=& 1 \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} \cdot 1 \\ &=& \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\end{eqnarray}\]ここで,以下の極限を使用した.\[\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^k} = 1\]\[\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}\]\[\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} = 1\]以上より,ポアソン分布の確率質量関数が,\[P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]と導出できた◻︎

ポアソン分布の特性

期待値

ポアソン分布の期待値は,\[E[X] = \lambda\]となる.

以下に期待値の導出を示す.\[\begin{eqnarray}E[X] &=& \sum_{k=0}^{\infty} k P(X = k) = \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\\ &=& e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\end{eqnarray}\]ここで, $m = k-1$ とおくと,\[\begin{eqnarray}&=& e^{-\lambda} \lambda \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\lambda^m}{m!}\\ &=& e^{-\lambda} \lambda e^{\lambda} = \lambda\end{eqnarray}\]すなわち,\[E[X] = \lambda\]

分散

ポアソン分布の分散は,\[Var(X) = \lambda\]となる.

以下に分散の導出を示す.まず,\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\]であることから, $E[X^2]$ を計算する.\[\begin{eqnarray}E[X^2] &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 P(X = k) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\\ &=& e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\\ &=& e^{-\lambda} \lambda \left(\lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\right)\\ &=& e^{-\lambda} \lambda (\lambda e^{\lambda} + e^{\lambda})\\ &=& \lambda^2 + \lambda\end{eqnarray}\]したがって,\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (\lambda^2 + \lambda) - \lambda^2 = \lambda\]ゆえに,\[Var(X) = \lambda\]

分布の性質を理解する上で重要な関数

モーメント母関数

\[M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{\lambda(e^t - 1)}\]

確率母関数

\[G_X(s) = E[s^X] = e^{\lambda(s-1)}\]

特性関数

\[\phi_X(t) = E[e^{itX}] = e^{\lambda(e^{it} - 1)}\]

Mathematics is the language with which God has written the universe.