定義：memoryless property
$X$ を幾何分布に従う確率変数とし,成功確率を $p$ とする.無記憶性は以下の条件式で表される.\[P(X > n + m | X > n) = P(X > m), \quad \forall n, m \geq 0\]この式は,既に $n$ 回失敗した後で,さらに $m$ 回以上失敗する確率が最初から $m$ 回以上失敗する確率と等しいことを示している.
この性質を証明するために,条件付き確率の定義を用いる.$X > n + m$ は $X > n$ を包含することに留意すると,\[\begin{eqnarray}P(X > n + m | X > n) &=& \frac{P(X > n + m, X > n)}{P(X > n)} \\&=& \frac{P(X > n + m)}{P(X > n)}\end{eqnarray}\]ここで,幾何分布の累積分布関数\[P(X > k) = (1-p)^k, \quad k \geq 0\]を上記の式に代入すると,\[\begin{eqnarray}P(X > n + m | X > n) &=& \frac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^n} \\&=& (1-p)^m \\&=& P(X > m)\end{eqnarray}\]したがって,\[P(X > n + m | X > n) = P(X > m)\]が成り立つ◻︎
Mathematics is the language with which God has written the universe.