二項分布と負の二項分布

二項分布の確率質量関数は,\[P(X = x | n, p) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\]一方,負の二項分布の確率質量関数は,\[P(Y = y | r, p) = \binom{y + r - 1}{y} p^y (1-p)^r\]負の二項分布の確率質量関数は,以下のように二項分布の確率質量関数と関係づけることが出来る.\[P(Y = y | r, p) = \binom{y + r - 1}{y} p^y (1-p)^r\]つまり,負の二項分布の確率質量関数は,二項分布の試行回数 $n$ と負の二項分布の成功回数 $r$ が等しく（$n = r$）,かつ,二項分布の成功回数 $x$ と負の二項分布の成功回数 $y$ が等しい（$x = y$）場合に二項分布の確率質量関数と等しくなる.

具体例

例えば,成功確率 $p$ のコイントスを考える.二項分布を用いて10回の試行で3回成功する[表が出る]確率は次のように計算される.1回目が表,2回目が裏,3回目が裏,4回目が裏,5回目が裏,6回目が表,7回目が裏,8回目が裏,9回目が表,10回目が裏という場合である.\[P(X = 3) = \binom{10}{3} p^3 (1 - p)^7\]成功確率を $p = 0.5$ とすると,\[P(X = 3) = \binom{10}{3} (0.5)^3 (1 - 0.5)^7\]二項係数 $\binom{10}{3}$ は,\[\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}\]ここで,\[10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800\]\[3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\]\[7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\]であるから,\[\binom{10}{3} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120\]よって,\[P(X = 3) = 120 \times (0.5)^3 \times (0.5)^7\]\[P(X = 3) = 120 \times (0.5)^{3+7}\]\[P(X = 3) = 120 \times (0.5)^{10}\]\[P(X = 3) = 120 \times \frac{1}{2^{10}}\]\[P(X = 3) = 120 \times \frac{1}{1024}\]\[P(X = 3) = \frac{120}{1024}\]\[P(X = 3) = \frac{15}{128}\]\[P(X = 3) \approx 0.1171875\]したがって,試行回数 $n = 10$ , 成功確率 $p = 0.5$ の二項分布において,成功回数が $k = 3$ となる確率 $P(X = 3)$ は約0.117となる.

一方,負の二項分布を用いて3回成功する[表が出る]までに7回失敗する[裏が出る]確率は次のように計算される.1回目が裏,2回目が裏,3回目が表,4回目が裏,5回目が裏,6回目が裏,7回目が裏,8回目が表,9回目が裏,10回目が表というような場合である.\[P(X = 7) = \binom{7 + 3 - 1}{3 - 1} p^3 (1 - p)^7\]負の二項係数 $\binom{9}{2}$ は,\[\binom{9}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!}\]となる.階乗の計算をすると,\[9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880\]\[2! = 2 \times 1 = 2\]\[7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\]これらを用いて,負の二項係数を計算する.\[\binom{9}{2} = \frac{362880}{2 \times 5040} = \frac{362880}{10080} = 36\]次に,$p = 0.5$ を用いて確率を計算する.\[\begin{eqnarray}P(X = 7) &=& 36 \times (0.5)^3 \times (0.5)^7\\&=& 36 \times (0.5)^{3+7}\\&=& 36 \times (0.5)^{10}\\&=& 36 \times \frac{1}{2^{10}}\\&=& 36 \times \frac{1}{1024}\\&=& \frac{36}{1024}\\&=& \frac{9}{256}\\& \approx & 0.03515625 \end{eqnarray}\]したがって,負の二項分布において成功回数 $r = 3$ ,失敗回数 $k = 7$ ,成功確率 $p = 0.5$の場合の確率 $P(X = 7)$ は約 0.035となる.

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