定義：continuous uniform distribution
すなわち,確率密度関数\[f(x) = \begin{cases}\frac{1}{b-a} & \text{if } a \leq x \leq b \\0 & \text{otherwise}\end{cases}\]を持つ分布を連続一様分布といい,$U(a,b)$ と表す.
累積分布関数は,\[F(x) = \begin{cases}0 & \text{if } x < a \\\frac{x-a}{b-a} & \text{if } a \leq x \leq b \\1 & \text{if } x > b\end{cases}\]である.
\[\begin{eqnarray}E[X] &=& \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \\&=& \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} dx \\&=& \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b} \\&=& \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} \\&=& \frac{b+a}{2}\end{eqnarray}\]
分散は $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ を用いて計算する.まず, $E[X^2]$ を計算する.\[\begin{eqnarray}E[X^2] &=& \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \\&=& \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx \\&=& \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b} \\&=& \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^3 - a^3}{3} \\&=& \frac{b^2 + ab + a^2}{3}\end{eqnarray}\]次に分散を計算する.\[\begin{eqnarray}Var(X) &=& E[X^2] - (E[X])^2 \\&=& \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \left(\frac{b+a}{2}\right)^2 \\&=& \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \frac{b^2 + 2ab + a^2}{4} \\&=& \frac{4(b^2 + ab + a^2) - 3(b^2 + 2ab + a^2)}{12} \\&=& \frac{b^2 - 2ab + a^2}{12} \\&=& \frac{(b-a)^2}{12}\end{eqnarray}\]
連続一様分布 $U(a,b)$ のモーメント母関数は,\[M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}\]$\because$ モーメント母関数は以下のように定義される.\[M_X(t) = E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx\]連続一様分布 $U(a,b)$ の場合,\[\begin{eqnarray}M_X(t) &=& \int_{a}^{b} e^{tx} \cdot \frac{1}{b-a} dx \\&=& \frac{1}{b-a} \left[ \frac{e^{tx}}{t} \right]_{a}^{b} \\&=& \frac{1}{t(b-a)} (e^{tb} - e^{ta}) \\&=& \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}\end{eqnarray}\]
連続一様分布 $U(a,b)$ の特性関数は,\[\phi_X(t) = \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}\]$\because$ 特性関数は以下のように定義される.\[\phi_X(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) dx\]連続一様分布 $U(a,b)$ の場合,\[\begin{eqnarray}\phi_X(t) &=& \int_{a}^{b} e^{itx} \cdot \frac{1}{b-a} dx \\&=& \frac{1}{b-a} \left[ \frac{e^{itx}}{it} \right]_{a}^{b} \\&=& \frac{1}{it(b-a)} (e^{itb} - e^{ita}) \\&=& \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}\end{eqnarray}\]
Mathematics is the language with which God has written the universe.