有限次元ベクトル空間とその双対空間

$V = \mathbb{R}^2$を標準基底$\{e_1, e_2\}$を持つベクトル空間とする.

この時,一般の元$v \in V$は次のように表される：\[v = v^1e_1 + v^2e_2 = \begin{pmatrix} v^1 \\ v^2 \end{pmatrix}\]双対空間$V^*$の基底を$\{e^1, e^2\}$とすると,双対空間の一般の元$f \in V^*$は：\[f = f_1e^1 + f_2e^2\]この$f$は線形汎関数として次のように作用する：\[f(v) = f_1v^1 + f_2v^2\]例えば,$v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$に対して,$f = 2e^1 + e^2$は：\[f(v) = 2(2) + 1(3) = 7\]

元とは点[ベクトル]であり,$(2,3)$ はその点の座標を示す.そして,これは基底 ${e_1, e_2}$ を使って,$v = 2e_1 + 3e_2$ と表される.

これに対し,双対空間の元とは線形汎関数である.すなわち,$(2,1)$ はその線形汎関数の座標を示す.これは双対基底 ${e^1, e^2}$ を使って $f = 2e^1 + e^1$ を表される.

# ベクトル空間の元（点）
v = (2, 3)  # これは空間中の1点

# 双対空間の元（関数）
def f(vector):  # これも"元"
    x, y = vector
    return 2*x + 1*y

# f は双対空間の"元"として,任意のベクトルを受け取って実数を返しす
print(f(v))  # = 7
print(f((1, 1)))  # = 3
print(f((0, 1)))  # = 1

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