定義：
一方,物体の密度 $\rho$ が既知であれば,微小質量要素 $dm$ を 微小体積要素 $\mathrm{d}V$ を用いて置き換えることができる.\[\mathrm{d}m = \rho \, \mathrm{d}V\]よって,慣性モーメントは,\[I = \int_V r^2 \rho \, \mathrm{d}V\]となる.
慣性モーメントは,物体が回転する際の慣性の度合いを表す物理量であり,回転軸の周りで物体を回すために必要な力の大きさを示す.慣性モーメントは物体の質量分布に依存する.
なお,スケート選手が回転する際に,手を広げると回転のスピードが遅くなり,手を体にくっつけるとスピードが速くなるのは,角運動量保存という物理法則によるものである.角運動量[回転運動の量]は,回転軸からの距離[半径]と回転の速さ[角速度]の積として定義される.これが保存されるため,選手が回転する時,体の質量の分布を変えることで角速度が変化する.
すなわち,手を広げると,体の質量が回転軸から遠ざかるため,慣性モーメントが大きくなる.その結果,角運動量を保つためには角速度[回転速度]が遅くなる.
一方,手を体にくっ付けると,質量が回転軸に近づくため,慣性モーメントが小さくなり,角運動量を保つために回転速度が速くなる.
なお,スケート選手が長い棒を持って回転する場合においては,手を広げて回転する場合と同じように,棒を持っている場合にも,慣性モーメントが増加する.従って,手を広げた場合と同様に回転のスピードは遅くなる.さらに,スケート選手が棒を持ち,手を広げて回転している状態であれば,手を体にくっ付けた状態と比べて,回転速度は遅くなる.
つまり,回転軸から遠い場所に質量が集中しているほど慣性モーメントが大きくなり,角速度[回転スピード]が遅くなる.
棒の長さを $L$,質量を $M$ とし,回転軸が棒の端にある場合を考える.また,質量は一様に分布していると仮定する.慣性モーメントの定義式より,\[I = \int r^2 \, \mathrm{d}m\]質量密度[単位長さあたりの質量]を,\[\lambda = \frac{M}{L}\]とすると,微小質量要素 $\mathrm{d}m$ は次のように表される.\[\mathrm{d}m = \lambda \, \mathrm{d}x = \frac{M}{L} \, \mathrm{d}x\]回転軸から距離 $x$ の位置にある微小質量 $\mathrm{d}m$ の距離は $r = x$ である.従って,慣性モーメントは,\[I = \int_0^L x^2 \, \mathrm{d}m = \int_0^L x^2 \, \frac{M}{L} \, \mathrm{d}x\]定数 $\frac{M}{L}$ を積分の外に出す.\[I = \frac{M}{L} \int_0^L x^2 \, \mathrm{d}x\]積分を計算する.\[\int_0^L x^2 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{L^3}{3}\]これを代入して,\[I = \frac{M}{L} \cdot \frac{L^3}{3} = \frac{1}{3} M L^2\]よって,棒の慣性モーメント[回転軸が端にある場合]は次の通り.\[I = \frac{1}{3} M L^2\]
円盤の半径を $R$,質量を $M$ とし,回転軸が円盤の中心を通る場合を考える.慣性モーメントの定義式より,\[I = \int r^2 \, \mathrm{d}m]ここで,円盤の面密度[単位面積あたりの質量]を,\[\sigma = \frac{M}{\pi R^2}\]とする.微小質量要素 $\mathrm{d}m$ は,円盤の微小面積要素 $\mathrm{d}A$ に面密度を掛けたものである.\[\mathrm{d}m = \sigma \, \mathrm{d}A\]極座標系で微小面積要素 $\mathrm{d}A$ は次のように表される.\[\mathrm{d}A = 2\pi r \, \mathrm{d}r\]従って,微小質量要素は,\[I = \int_0^R r^2 \, \mathrm{d}m = \int_0^R r^2 \cdot \sigma \cdot 2\pi r \, \mathrm{d}r\]定数を外に出すと,\[I = 2\pi \sigma \int_0^R r^3 \, \mathrm{d}r\]積分を計算する.\[\int_0^R r^3 \, \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{R^4}{4}\]これを代入し,\[I = 2\pi \sigma \cdot \frac{R^4}{4}\]更に,面密度 $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ を代入する.\[I = 2\pi \cdot \frac{M}{\pi R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} M R^2\]以上より,円盤の慣性モーメント[中心軸の場合]は次の通りとなる.\[I = \frac{1}{2} M R^2\]
Mathematics is the language with which God has written the universe.