シュレーディンガー橋

定義：

2つの確率測度 $\mu_0(dx) = \rho_0(x)dx$ と $\mu_1(dy) = \rho_1(y)dy$,および連続で至るところ正の値を取るマルコフ核 $q(s, x, t, y)$ が与えられたとき,シュレーディンガー橋は,以下の式で定義される測度 $P_{01}$ を実現する,一意な関数ペア $(\hat{\phi}_0, \phi_1)$ を求める問題として定式化される.\[P_{01}(E) = \int_{E} q(0, x, 1, y)\hat{\phi}_0(x)\phi_1(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]ここで,$P_{01}$ は $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ 上の測度で,$\mu_0$ と $\mu_1$ を周辺測度として持つ.また,$q(s, x, t, y)$ は,時刻 $s$ に状態 $x$ から時刻 $t$ に状態 $y$ へ遷移する確率密度を表すマルコフ核である.

この定義は,シュレーディンガーが提唱した,多数のブラウン粒子の初期分布と終端分布が観測されたとき,その間の最も可能性の高い軌跡を求める問題と密接に関係している.すなわち,シュレーディンガー橋は,最適輸送問題をエントロピー正則化した問題と等価であることが知られており,最適輸送における最適な質量割り当て戦略に加えて,その戦略を実現するための確率的な経路を提供するものと言える.

具体的には,マルコフ核がスケールされたブラウン運動に関連付けられている場合,つまり,\[q = q_{B\epsilon} := (2\pi )^{-n/2}((t − s)\epsilon )^{-n/2} \exp (− |x− y|^2 / 2(t − s)\epsilon )\]であるとき,シュレーディンガー橋問題は以下のように簡略化される.\[\min_{\pi\in C(\mu_0,\mu_1)} \int_{\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n} \pi (x, y) \log (\pi (x, y) / q_{B\epsilon} (0, x, 1, y)) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]この式は,2乗誤差コスト $c(x, y) = |x− y|^2$ を持つエントロピー正則化最適輸送問題と等価である.

Mathematics is the language with which God has written the universe.

測度 DPPを利用したコード慣性モーメントラグランジアンとニュートン力学の整合性運動量保存則 HDLC