マルコフ核

定義：

マルコフ核[Markov kernel]とは,ある状態から別の状態へ遷移する確率を記述する関数である.

すなわち,状態空間 $X$ と時間 $t$ が与えられたとき,マルコフ核 $K(s, x; t, y)$ は,時刻 $s$ に状態 $x$ にあったシステムが,時刻 $t$ に状態 $y$ に遷移する確率密度を表す.ここで,$x, y \in X$, $s \leq t$ である.

ここで,$x$ と $y$ は可測空間[measurable space]である.

マルコフ核 $K(s, x; t, y)$ は$B(y)$ を $y$ 上のボレル集合族[Borel σ-algebra]として,\[K: x \times B(y) \to [0,1]\]

離散的な状態空間 $X = {1, 2, 3}$ から $Y = {a, b, c}$ への遷移を記述するマルコフ核は,

のようになる.

Mathematics is the language with which God has written the universe.