深層ボルツマンマシン[DBM]を用いたAdS/CFT対応

AdS/CFT対応をDBMの枠組みで解釈するために,Hashimoto(2019)により以下の対応関係が提案された.

• AdS/CFTにおけるバルク（内部）座標 $z$：DBMの隠れ層のラベル $k$ に対応
• QFTのソース（場に外部から影響を与える項や関数） $J(x)$：DBMの可視層への入力値 $v_{i}$ に対応
• バルク場 $φ(x, z)$：DBMの隠れ変数 $h(k)_{i}$ に対応
• QFTの生成関数 $Z[J]$：DBMの確率分布 $P(v_{i})$ に対応
• バルク作用 $S[φ]$：DBMのエネルギー関数 $E(v_{i}, h(k)_{i})$ に対応

バルク場をDBMで表現するために,時空を離散化する.具体的には,バルクの座標 $z$ を離散化し,格子点 $z_{k}$ ごとに隠れ変数を配置する.この離散化されたバルク場の時間微分は,以下の式で近似される.\[\left(\frac{\partial}{\partial \tau}\phi\right)^{2} = \lim_{\Delta\tau, \Delta z \to 0} \left[ \left(\frac{\phi(x_{i,l+1}, z_{k}) - \phi(x_{i,l}, z_{k})}{\Delta\tau}\right) \cdot \left(\frac{\phi(x_{i,l+1}, z_{k+1}) - \phi(x_{i,l}, z_{k+1})}{\Delta\tau}\right) \right]\]

ここで,$\phi(x_{i}, l, z_{k})$ は,離散化された時空点におけるバルク場の値,$\Delta\tau$ は時間方向の離散化間隔,$\Delta z$はバルク方向の離散化間隔.

深層ボルツマンマシン[DBM]を用いてAdS/CFT対応を解釈する試みでは,DBMの隠れ変数と学習された重みが,バルク場と重力の計量を表現するものとして解釈され,重力と機械学習が深く関連していることが示唆されている.

参考文献

• Koji Hashimoto（2019）.AdS/CFT as a deep Boltzmann machine.URL arXiv:1903.04951

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