スターリングの公式
公式：
$n$の階乗は,\[n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n\]と近似される.
スターリング[James Stirling;1692-05-11/1770-12-05]は,階乗 $n!$ の大きな $n$ に対する近似式を求めた.この近似式は,特に大きな数の階乗を扱う際に非常に有用であり,数値解析や統計学,確率論などの分野で広く使用されている.
スターリングの公式の拡張の一つとしてガンマ関数の漸近近似がある.
導出
\[I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\]この値を求めるため、$I^2$を計算する.\[\begin{eqnarray}I^2 &=& \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy\right) \\&=& \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy\end{eqnarray}\]ここで,
極座標変換 $(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta)$ を適用する.\[\begin{eqnarray}I^2 &=& \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta \\&=& 2\pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr \\&=& 2\pi \cdot \frac{1}{2} \\&=& \pi\end{eqnarray}\]従って,\[I = \sqrt{\pi}\]次に,$n!$ の対数をとり,和の形に変換する.\[\ln(n!) = \ln(1) + \ln(2) + \ln(3) + \cdots + \ln(n)\]ところで,
オイラー・マクローリンの公式は以下の形で与えられる.\[\sum_{k=1}^{n} f(k) = \int_{1}^{n} f(x)dx + \frac{f(n) + f(1)}{2} + \sum_{k=1}^{p} \frac{B_{2k}}{(2k)!}[f^{(2k-1)}(n) - f^{(2k-1)}(1)]\]ここで $B_{2k}$ は
ベルヌーイ数である.$f(x) = \ln(x)$ の場合は,\[\ln(n!) = \int_{1}^{n} \ln(x)dx + \frac{\ln(n)}{2} + \frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \cdots\]以上の結果より,主要項の積分を計算する.\[\begin{eqnarray}\int_{1}^{n} \ln(x)dx &=& [x\ln(x) - x]_{1}^{n} \\&=& n\ln(n) - n + 1\end{eqnarray}\]
ところで,スターリングの公式は\[n! \sim C \cdot n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{n}\]という形をしている.ここで,定数項 $C$ を決定するため,以下の極限を考える.\[C = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt{n}}\]この極限値が $\sqrt{2\pi}$ であることを,複素積分を用いて示す.ハンケル周回路上の積分は,\[\frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{e^z}{z^{n+1}} dz\]となる.この積分を鞍点法で評価すると,\[C = \sqrt{2\pi}\]上記の結果を組み合わせると,\[\ln(n!) = n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(n) + \ln(\sqrt{2\pi}) + \frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + O(\frac{1}{n^5})\]両辺の指数をとると,\[\begin{eqnarray}n! &=& \exp(n\ln(n))\exp(-n)\exp(\frac{1}{2}\ln(n))\exp(\ln(\sqrt{2\pi}))\exp(\frac{1}{12n} + \cdots) \\&=& n^n \cdot e^{-n} \cdot n^{1/2} \cdot \sqrt{2\pi} \cdot (1 + \frac{1}{12n} + O(\frac{1}{n^2}))\end{eqnarray}\]従って,スターリングの近似式は,\[n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\]となる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.
