正規分布とガンマ分布

標準正規分布 $ X \sim N(0,1) $ に従う確率変数 $X$ の確率密度関数は次のように与えられる.\[f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}, \quad x \in (-\infty, \infty)\]ここで,$Y = X^2$ と定義する.つまり,標準正規分布に従う確率変数 $X$ の値を2乗したものが $Y$ になる.これを変数変換を用いて確率密度関数を求める.変数変換 $Y = X^2$ を行った場合,逆変換は $X = \pm \sqrt{Y}$ となる.これを用いて,確率密度関数の変換を行う.\[f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \left| \frac{d}{dy} \sqrt{y} \right| + f_X(-\sqrt{y}) \left| \frac{d}{dy} (-\sqrt{y}) \right|\]ここで,微分の結果は $\left| \frac{d}{dy} \sqrt{y} \right| = \frac{1}{2\sqrt{y}}$ であるので,式は次のように展開される.\[f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\]これを整理すると,\[f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, \quad y > 0\]この結果は,$Y = X^2$ が従う確率密度関数である.ところで,ガンマ分布の確率密度関数は次のように表される.\[f_{\text{Gamma}}(y; \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} y^{\alpha-1} e^{-y/\beta}, \quad y > 0\]ここで,$Y = X^2$ の確率密度関数とガンマ分布の確率密度関数が一致することを示す.$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}$ を比較すると,これはガンマ分布 $\text{Gamma}(\alpha = 1/2, \beta = 2) $に対応している.すなわち,具体的には以下のように一致する.\[f_{\text{Gamma}}(y; \alpha = 1/2, \beta = 2) = \frac{1}{\Gamma(1/2) 2^{1/2}} y^{(1/2)-1} e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}\]

補足

ガンマ関数 $\Gamma(z)$ は次のように定義される.\[\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \, dt\]ここで,$z$ は複素数であり,実数部が正である場合に収束します.特に、$z = \frac{1}{2}$ の場合を考える.\[\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \int_0^\infty t^{\frac{1}{2}-1} e^{-t} \, dt = \int_0^\infty t^{-1/2} e^{-t} \, dt\]この積分を解くために,次の変数変換を行う.\[t = u^2 \quad \]つまり, $t^{1/2} = u$.これにより,微分 $\text{d}t = 2u \, \text{d}u$ となり,積分式は次のように変換される.\[\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \int_0^\infty (u^2)^{-1/2} e^{-u^2} \cdot 2u \, du\]ここで,$(u^2)^{-1/2} = u^{-1}$ であるため,積分式は次のように簡略化される.\[\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \int_0^\infty 2 e^{-u^2} \, du\]この積分は,ガウス積分として知られている標準的な積分に一致する.ガウス積分の結果は次の通り.\[\int_0^\infty e^{-u^2} \, du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]したがって,\[\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}\]結論として,\[\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}\]

Mathematics is the language with which God has written the universe.