確率変数の分布と特性関数の関係

確率変数の特性関数は次のように定義される.\[\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}],\]ここで, $t \in \mathbb{R}$ は実数のパラメータ, $X$ は確率変数である. この定義を詳しく見ていくと, 特性関数が確率変数の分布を複素平面上にどのように対応付けているかがわかる.

複素指数関数の分解

特性関数の定義における複素指数関数 $e^{itX}$ は, オイラーの公式を用いて次のように表される.\[e^{itX} = \cos(tX) + i \sin(tX),\]ここで $i = \sqrt{-1}$ は虚数単位. これを用いると, 特性関数は次の形に分解される.\[\phi_X(t) = \mathbb{E}[\cos(tX)] + i \mathbb{E}[\sin(tX)].\]つまり, 特性関数は実部 $\mathbb{E}[\cos(tX)]$ と虚部 $\mathbb{E}[\sin(tX)]$ を持つ複素数であり, これが確率変数 $X$ の分布から計算される.

確率分布の情報のエンコード

確率変数 $X$ の分布を複素平面上に移す理由としては以下の2つがある.

• 実部と虚部に分布の特徴をエンコードする：すなわち,$\cos(tX)$ と $\sin(tX)$ の期待値は, それぞれ分布の形状や広がりを異なる形で反映する.
• 振幅と位相として解釈可能となる：特性関数の絶対値[振幅]と偏角[位相]は, 分布の集中度や非対称性を示す.

フーリエ変換との関係

特性関数は確率密度関数 $f_X(x)$ のフーリエ変換として解釈できる.\[\phi_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x) dx.\]この式において, 特性関数は $t$ に依存して複素平面上の点として記述される. 逆に, 特性関数から確率密度関数を復元することも可能であり, 次の式で表される.\[f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \phi_X(t) e^{-itx} dt.\]このように, 特性関数は確率分布の情報を複素平面上でエンコードし, 解析的に扱いやすい形に変換するものである.

特性関数が分布を複素平面上に移す理由

特性関数を用いると, 確率変数の分布に関する次の情報が複素平面上に対応付けられる.

• モーメントとの関係：特性関数を $t$ に関して微分することで, 確率変数のモーメントを取得できる.
• 集中度の解析：特性関数の絶対値 $|\phi_X(t)|$ は分布の集中度を反映する. 例えば, 値が急速に減衰する場合, 分布は強く集中していることを示す.
• 対称性の情報：特性関数の虚部,すなわち,$\sin(tX)$ に関連する成分は分布の非対称性を示す.

具体例：正規分布の特性関数

標準正規分布 $N(0, 1)$ の場合, 特性関数は次のようになる.\[\phi_X(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}.\]

この特性関数は純粋に実数値であり, 複素平面上では実軸に対応する値のみを持つ. この場合, 特性関数の振る舞いは分布の広がりを直接的に反映している.

Mathematics is the language with which God has written the universe.