コンパクト集合
定義：コンパクト集合[compact set]
位相空間 $X$ において,部分集合 $K \subset X$ が
コンパクトであるとは,次のいずれかの同値な条件を満たすことである.
- 任意の開被覆 $\{ U_\alpha \}_{\alpha \in \mathit{A}}$ すなわち,$K \subset \bigcup_{\alpha \in \mathit{A}} U_\alpha $ について,有限個の部分被覆 $\{ U_{\alpha_1}, U_{\alpha_2}, \dots, U_{\alpha_n} \}$ で $K \subset \bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i}$ を満たすものが存在する
- 任意の点列 $\{x_n\} \subset K$ に対して,$K$ に収束する部分列 $\{x_{n_k}\}$ が存在する
- $K$ 内の閉集合族 $\{ F_\alpha \}_{\alpha \in \mathit{A}}$ で,任意の有限部分集合に対して $\bigcap_{i=1}^n F_{\alpha_i} \neq \emptyset$ ならば,全体でも $\bigcap_{\alpha \in \mathit{A}} F_\alpha \neq \emptyset$ が成り立つ
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ において,部分集合 $K \subset \mathbb{R}^n$ がコンパクトであるための必要十分条件は,$K$ が閉かつ有界であることである[ハイネ・ボレルの定理].
コンパクト集合とは,直感的には有限の範囲内で閉じている集合といった性質を持つ.
Mathematics is the language with which God has written the universe.
