定義：集合関数[Set Function]
なお,$\mathit{P}(X)$ は集合 $X$ の冪集合（すべての部分集合の集合）である.
集合関数とは,集合を定義域とし,実数を値域とする関数である.つまり,ある集合族から実数への写像である.
測度[Measure]は集合関数の一種であり,$\sigma$-加法性を満たす.例えば,測度可能集合に確率を割り当てる関数である確率測度 $P$ は次を満たす.\[P: \mathit{F} \to [0, 1]\]
ここで $\mathit{F}$ は確率空間上の測度可能集合の集合である.
つまり,確率は集合を与えるごとに値が決まるものであり,集合を変数とする集合関数である.
集合 $A \subseteq X$ に対して,次を出力する特性関数[Characteristic Function] $\chi_A$ も集合関数の一種である.\[\chi_A(x) =\begin{cases} 1 & (x \in A), \\0 & (x \notin A).\end{cases}\]
集合の和[合併],積[共通部分],差分を操作する関数も集合関数として扱うことができる.例えば,集合の和に対する関数 $\mu$ が次のように定義される場合,\[\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \cap B)\]
これは典型的な集合関数の例となる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.