パラレログラム法則

内積空間では,ノルム $\|x\|$ は内積 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ を用いて以下のように表される.\[\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\]

このとき,左辺において,まず,$\|x + y\|^2$ と $\|x - y\|^2$ をそれぞれ展開する.\[\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle\]\[\|x - y\|^2 = \langle x - y, x - y \rangle = \langle x, x \rangle - 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle\]

これらを足し合わせると,\[\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle + \langle x, x \rangle - 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle\]

簡略化すると,\[\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\langle x, x \rangle + 2\langle y, y \rangle\]

右辺は,\[2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = 2\langle x, x \rangle + 2\langle y, y \rangle\]

であるため,左辺と右辺が一致する.

パラレログラム法則は,ノルム空間が内積空間であるための必要十分条件を与える.すなわち,ノルムが内積から誘導されている場合にのみ,この法則が成り立つ.

また,偏極化恒等式を用いると,ノルムから内積を明示的に再構成できる.すなわち,偏極化恒等式を用いることで,ノルム空間が内積空間である場合に限り,ノルムの情報から内積を計算できる.

Mathematics is the language with which God has written the universe.