定義：ウォレスの積分[Wallis integral]
なお,$n \geq 0$ は任意の非負の実数または整数である.
スコットランドの数学者であるジョン・ウォリス[John Wallis, 1616/1703]が研究したこの積分は,三角関数の冪乗の定積分を解析する際に現れる重要な式であり,ウォリス積[Wallis product]やガンマ関数との関連を持つ.
$n=0$ の場合のウォリスの積分は,\[I_0 = \int_0^{\pi/2} (\sin x)^0 \, dx = \frac{\pi}{2}\]
$n=1$ の場合のウォリスの積分は,\[I_1 = \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = 1\]
$n=21$ の場合のウォリスの積分は,\[I_2 = \int_0^{\pi/2} (\sin x)^2 \, dx = \frac{\pi}{4}\]となる.
ウォリスの積分は次の再帰関係を満たす.\[I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}\]
ウォリス積分 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx$ の再帰関係を導出する.まず,$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx$ に対して,以下のようにおく.\[u = \sin^{n-1} x, \quad dv = \sin x \, dx\]
すると,微分と積分を行うことにより,\[du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx, \quad v = -\cos x\]
これらを部分積分の公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du$ に適用すると,\[I_n = \left[ -\sin^{n-1} x \cos x \right]_0^{\pi/2} + (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx\]
となる.
ここで,$x = 0$ および $x = \pi/2$ においては,$\sin x = 0$ または $\cos x = 0$ となるため,\[\left[ -\sin^{n-1} x \cos x \right]_0^{\pi/2} = 0\]
となる.
従って,式は次のように簡略化される.\[I_n = (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx\]
次に,三角関数の恒等式 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて積分を分解する.\[I_n = (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx\]
これを展開すると,\[I_n = (n-1) \left( \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \, dx - \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx \right)\]
ここで,$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx$ であることを考慮すると,\[I_n = (n-1) \left( I_{n-2} - I_n \right)\]
上記の式を整理して $I_n$ について解くと,\[I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}\]
つまり,\[n I_n = (n-1) I_{n-2}\]
したがって,再帰関係は次のように表される.\[I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}\]
この式は,階比数列型の漸化式である.従って,繰り返し適用していくことで $I_n$ を求めることができる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.