平均絶対誤差

定義：

$y_i$ を真の値とし,$\hat{y}_i$ を対応する予測値としたとき,与えられたデータセットが $\{ (x_i, y_i) \}_{i=1}^{n}$ である場合,平均絶対誤差[Mean Absolute Error, MAE]は次のように定義される.\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y}_i|\]

平均絶対誤差[MAE]の式から $\frac{1}{n}$ を外すと,L1ノルム[マンハッタン距離]の式と同じ式となる.このことから,平均絶対誤差[MAE]は,L1損失[L1 Loss]ともL1ノルム損失[L1-norm Loss]とも呼ばれる.

ここで,真の値 y_true を 100 で一定とし,予測値 y_pred を -10,000 から 10,000 まで一定の割合で変化させたときの平均絶対誤差[MAE]の微分値をPythonで描く.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 平均絶対誤差 (MAE) を計算する関数
def mae(y_true, y_pred):
    return np.mean(np.abs(y_true - y_pred))

# MAEの微分を計算する関数
def mae_derivative(y_true, y_pred):
    return np.where(y_true > y_pred, 1, -1) * (y_true - y_pred)

# 真の値と予測値の設定
y_true = 100
# -10,000から10,000まで一定の割合で変化
y_pred_range = np.linspace(-10000, 10000, 1000)  

# MAEの微分の計算
mae_deriv_values = mae_derivative(y_true, y_pred_range)

# グラフの描画
plt.plot(y_pred_range, mae_deriv_values)
plt.xlabel('Predicted Values')
plt.ylabel('MAE Derivative')
plt.title('MAE Derivative')
plt.grid(True)
plt.show()

ここで,mae_derivative（y_true, y_pred）関数は,真の値 y_true と予測値 y_pred からMAEの微分を計算している.その中で,NumPy の np.where関数を使用して条件に応じて 1 または -1 を割り当て,そこに予測誤差を掛けている.

Mathematics is the language with which God has written the universe.

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