ハザード関数

生存関数は瞬間的な故障率を意味している.

ハザード関数の導出

生存関数 $S(t)$ は,\[ S(t) = P(T > t) \]と定義される.ここで,$T$ は生存時間[または故障時間]を表す確率変数である.次に,累積分布関数 $F(t)$ との関係を考える.\[ F(t) = P(T \leq t) = 1 - S(t) \]また,確率密度関数 $f(t)$ は累積分布関数 $F(t)$ の導関数として定義される.\[ f(t) = \frac{d}{dt}F(t) \]この関係を用いて$f(t)$ を $S(t)$ で表現すると,\[\begin{align*}f(t) &= \frac{d}{dt}F(t) \\&= \frac{d}{dt}[1 - S(t)] \\ &= -\frac{d}{dt}S(t)\end{align*}\]以上より,

• 生存関数 $S(t)$ は時間とともに減少（生存確率が下がる）
• 一方,累積分布関数 $F(t)$ は時間とともに増加（事象が発生する確率が上がる）
• $F(t)$ と $S(t)$ は補完的な関係にあり,その和は常に1
• 従って,$f(t)$ を $S(t)$ の導関数で表現するとマイナスの符号が付く

Mathematics is the language with which God has written the universe.