確率密度関数

確率密度関数の性質：

• $f(x) \geq 0$ （すべての $x$ について）
• $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$
• 累積分布関数との関係：$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$
• $f(x) = \frac{d}{dx}F(x)$ （$F(x)$ が微分可能な点で）

確率関数と確率密度関数の違い

• 確率関数：$p(x)$ は $X$ が特定の値 $x$ をとる確率を直接表す
• 確率密度関数：$f(x)$ 自体は確率ではなく確率密度を表す.特定の点での確率は常に0.

積分と和

• 確率関数：確率は和で計算される\[P(a \leq X \leq b) = \sum_{a \leq x \leq b} p(x)\]
• 確率密度関数：確率は積分で計算される.\[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx\]

値の範囲

• 確率関数：$0 \leq p(x) \leq 1$
• 確率密度関数：$f(x) \geq 0$ だが,$f(x) > 1$ も可能

累積分布関数との関係

• 確率関数：$F(x) = \sum_{t \leq x} p(t)$
• 確率密度関数：$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$ と $f(x) = \frac{d}{dx}F(x)$

Mathematics is the language with which God has written the universe.