モーメント

定義：moment

モーメント[積率]とは,確率分布の特性を表す数値的な指標である.

$n$ 次モーメントは確率変数の

$n$ 乗の期待値として定義される.

すなわち, $μ_{n} = E [X^{n}] = {\begin{cases} \sum_{x} x^{n} P (X = x) \\ \int_{- \infty}^{\infty} x^{n} f_{X} (x) d x \end{cases}$ 上式が離散分布の場合,下式が連続分布の場合である.

原点周りのモーメント

1次モーメント：平均 $\mu = \mathbb{E}[X]$
2次モーメント： $\mathbb{E}[X^2]$
3次モーメント： $\mathbb{E}[X^3]$
4次モーメント： $\mathbb{E}[X^4]$

中心モーメント（平均からの偏差のモーメント）

$μ_{n}^{'} = E [(X - μ)^{n}]$

1次中心モーメント：常に0
2次中心モーメント：分散 $\sigma^{2} = \mathbb{E}[(X - μ)^2]$
3次中心モーメント：分布の非対称性を表現する歪度に関連
4次中心モーメント：分布の裾の重さを表現する尖度に関連

Mathematics is the language with which God has written the universe.

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