モーメント
定義：moment
モーメント[積率]とは,確率分布の特性を表す数値的な指標である.$n$次モーメントは確率変数の$n$乗の期待値として定義される.
すなわち,\[\mu_n = \mathbb{E}[X^n] = \begin{cases}\sum_{x} x^n P(X = x) \\ \int_{-\infty}^{\infty} x^n f_X(x) \, dx \end{cases}\]上式が離散分布の場合,下式が連続分布の場合である.
原点周りのモーメント
- 1次モーメント：平均 $\mu = \mathbb{E}[X]$
- 2次モーメント：$\mathbb{E}[X^2]$
- 3次モーメント：$\mathbb{E}[X^3]$
- 4次モーメント：$\mathbb{E}[X^4]$
中心モーメント（平均からの偏差のモーメント）
\[\mu'_n = \mathbb{E}[(X - \mu)^n]\]
- 1次中心モーメント：常に0
- 2次中心モーメント：分散 $\sigma^{2} = \mathbb{E}[(X - μ)^2]$
- 3次中心モーメント：分布の非対称性を表現する歪度に関連
- 4次中心モーメント：分布の裾の重さを表現する尖度に関連
Mathematics is the language with which God has written the universe.
