定義：reproductive property
すなわち,$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ と $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ が独立であるとき, $Z = X + Y$ は \[N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\]に従う.
$N(\mu, \sigma^2)$ のモーメント母関数は,\[M_X(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}\]ここで,$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ と $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ の和を考えると,\[M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t) = e^{(\mu_1+\mu_2)t + \frac{1}{2}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2}\]となる.
これは,$N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ のモーメント母関数と同じ形であり,ここに正規分布の再生性が示された.
Mathematics is the language with which God has written the universe.