分布族

定義：Family of distributions

一定のパラメータで特徴付けられる確率分布の集合のこと.

すなわち,確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上で定義された確率変数の集合 $\mathcal{X}$ とパラメータ空間 $\Theta$ に対して,分布族 $\mathcal{F}$ は以下のように定義される写像 $F: \Theta \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{X})$ である.\[\mathcal{F} = \{F_\theta : \theta \in \Theta\}\]

ここで,確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ は,

$\Omega$：標本空間
$\mathcal{F}$：事象の集合（$\sigma$-代数）
$P$：確率測度

を意味する.

また,上記の定義で,

$\mathcal{P}(\mathcal{X})$ は $\mathcal{X}$ 上の確率測度の集合
$F_\theta$ は各 $\theta \in \Theta$ に対応する確率測度
$\forall \theta \in \Theta, F_\theta$ は $\sigma$-加法的
$\forall A \in \mathcal{F}, \theta \mapsto F_\theta(A)$ は可測関数

さらに,各 $F_\theta$ に対して確率密度関数 $f_\theta$ が存在する場合,分布族は以下のように表現できる.\[\mathcal{F} = \{f_\theta : \theta \in \Theta\}\]ここで, $f_\theta: \mathcal{X} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ は確率密度関数であり,\[\int_\mathcal{X} f_\theta(x) \, dx = 1 \]を満たす.

Mathematics is the language with which God has written the universe.

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