畳み込み演算

定義：

関数 $f$ と関数 $g$ の畳み込みは以下のように定義される.\[(f * g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x) \, dx\]ここで,
  • $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ は積分可能な関数
  • $z$ は出力変数[独立変数].つまり,畳み込み演算の結果である新しい関数 $(f * g)$ の引数.
  • $x$ は積分変数（平行移動のパラメータ）

なお,$g(z-x)$ の部分は,関数 $g$ を $x$ だけ平行移動させていることを表す.また,$f(x)g(z-x)$ の積は,点 $x$ における $f$ の値と,点 $z-x$ における $g$ の値,つまり,$z$ から見て $x$ だけ左に移動した点における $g$ の値,の積を取っている.さらに,積分によって,全ての $x$ に対してこの積を足し合わせている.

確率密度関数の畳み込みの場合、,の操作は2つの独立な確率変数の和の分布を求めることに対応している.

Mathematics is the language with which God has written the universe.





















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