ボホナーの定理

ここで,正定値関数は,任意の $n \in \mathbb{N}$, 任意の $t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}$, 任意の複素数 $z_1, \ldots, z_n$ に対して,\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n z_i \overline{z_j} \varphi(t_i - t_j) \geq 0\]を満たす関数である.

ボホナーの定理[Bochner's theorem]は確率論と調和解析において非常に重要な定理であり,オーストリア=ハンガリー帝国のクラクフ出身でナチスによる迫害を逃れて米国に移住した数学者であるサロモン・ボホナー[Salomon Bochner,1899/1982]によって1932年に発表された["Lectures on Fourier Integrals"].この定理は特性関数と正定値関数の間の関係を示す.

ボホナーの定理の意味と重要性

• 特性関数の特徴付け：この定理は,どのような関数が特性関数となり得るかを完全に特徴付けている.
• 確率測度の存在：与えられた関数が上記の条件を満たせば,それを特性関数として持つ確率測度が必ず存在することを保証する.
• 正定値性の重要性：特性関数の正定値性が、確率分布の存在のための必要十分条件であることを示している.
• 逆問題の解決：特性関数から確率分布を構成する際の理論的基礎を与える.
• 調和解析との関連：この定理は正定値関数と確率測度のフーリエ変換の関係を示している.

証明のステップ

1. リースの表現定理を用いて,正定値関数をフーリエ変換として表現する.
2. この表現が非負測度のフーリエ変換であることを示す.
3. 測度を正規化して確率測度とする.

ボホナーの定理は,確率論と調和解析を結びつける重要な架け橋となっており,確率モデルの構築や解析に広く応用される.

Mathematics is the language with which God has written the universe.